Oh, Class::Accessor 0.34 has its own import()!

use base qw(Class::Accessor::Fast Exporter);としているコードでエクスポートが利かなくてはまった。既存のコードは動いているので原因を調べたところ、Class::Accessorの最新版を使ったのがよくなかったらしい。つまり、Class::Accessorの最新版(0.34)でMooseライクなシュガー関数をサポートしたのだが、そのために定義した独自のimportによって、Exporterのimportが見えなくなってしまっていたのだ。
これは以下のようにすれば問題ない。

use base qw(Exporter Class::Accessor::Fast);

追記：自分のコードではないものをすべてチェックするのが面倒なので、最終的にはClass::Accessor 0.33にダウングレードすることで対応した。